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簡約 (cos(θ)+isin(θ))^5

解

簡約

(cos (θ) + i sin (θ))^{5}

解

(cos^{5} (θ) - 10 cos^{3} (θ) sin^{2} (θ) + 5 sin^{4} (θ) cos (θ)) + (5 cos^{4} (θ) sin (θ) - 10 sin^{3} (θ) cos^{2} (θ) + sin^{5} (θ)) i

解答ステップ

(cos (θ) + i sin (θ))^{5}

2項定理を適用する:

(a + b)^{n} = i = 0 \sum n (i n) a^{(n - i)} b^{i}

a = cos (θ), b = i sin (θ)

= i = 0 \sum 5 (i 5) cos^{(5 - i)} (θ) (i sin (θ))^{i}

総和を展開する

= \frac{5 !}{0 ! ( 5 - 0 ) !} cos^{5} (θ) (i sin (θ))^{0} + \frac{5 !}{1 ! ( 5 - 1 ) !} cos^{4} (θ) (i sin (θ))^{1} + \frac{5 !}{2 ! ( 5 - 2 ) !} cos^{3} (θ) (i sin (θ))^{2} + \frac{5 !}{3 ! ( 5 - 3 ) !} cos^{2} (θ) (i sin (θ))^{3} + \frac{5 !}{4 ! ( 5 - 4 ) !} cos^{1} (θ) (i sin (θ))^{4} + \frac{5 !}{5 ! ( 5 - 5 ) !} cos^{0} (θ) (i sin (θ))^{5}

簡素化

\frac{5 !}{0 ! ( 5 - 0 ) !} cos^{5} (θ) (i sin (θ))^{0} : cos^{5} (θ)

簡素化

\frac{5 !}{1 ! ( 5 - 1 ) !} cos^{4} (θ) (i sin (θ))^{1} : 5 i cos^{4} (θ) sin (θ)

簡素化

\frac{5 !}{2 ! ( 5 - 2 ) !} cos^{3} (θ) (i sin (θ))^{2} : 10 i^{2} cos^{3} (θ) sin^{2} (θ)

簡素化

\frac{5 !}{3 ! ( 5 - 3 ) !} cos^{2} (θ) (i sin (θ))^{3} : 10 i^{3} sin^{3} (θ) cos^{2} (θ)

簡素化

\frac{5 !}{4 ! ( 5 - 4 ) !} cos^{1} (θ) (i sin (θ))^{4} : 5 i^{4} sin^{4} (θ) cos (θ)

簡素化

\frac{5 !}{5 ! ( 5 - 5 ) !} cos^{0} (θ) (i sin (θ))^{5} : i^{5} sin^{5} (θ)

= cos^{5} (θ) + 5 i cos^{4} (θ) sin (θ) + 10 i^{2} cos^{3} (θ) sin^{2} (θ) + 10 i^{3} sin^{3} (θ) cos^{2} (θ) + 5 i^{4} sin^{4} (θ) cos (θ) + i^{5} sin^{5} (θ)

10 i^{2} cos^{3} (θ) sin^{2} (θ) = - 10 cos^{3} (θ) sin^{2} (θ)

10 i^{3} sin^{3} (θ) cos^{2} (θ) = - 10 i sin^{3} (θ) cos^{2} (θ)

5 i^{4} sin^{4} (θ) cos (θ) = 5 sin^{4} (θ) cos (θ)

i^{5} = i

= cos^{5} (θ) + 5 i cos^{4} (θ) sin (θ) - 10 cos^{3} (θ) sin^{2} (θ) - 10 i sin^{3} (θ) cos^{2} (θ) + 5 sin^{4} (θ) cos (θ) + i sin^{5} (θ)

標準的な複素数形式で書き直す:

(cos^{5} (θ) - 10 cos^{3} (θ) sin^{2} (θ) + 5 sin^{4} (θ) cos (θ)) + (5 cos^{4} (θ) sin (θ) - 10 sin^{3} (θ) cos^{2} (θ) + sin^{5} (θ)) i

= (cos^{5} (θ) - 10 cos^{3} (θ) sin^{2} (θ) + 5 sin^{4} (θ) cos (θ)) + (5 cos^{4} (θ) sin (θ) - 10 sin^{3} (θ) cos^{2} (θ) + sin^{5} (θ)) i

人気の例

展開する 2(5/(e^4)+5/(e^{16)}+5/(e^{36)})

e x p an d 2 (\frac{5}{e ^{4}} + \frac{5}{e ^{16}} + \frac{5}{e ^{36}})

簡約 (2-3i)^4

s im pl i f y (2 - 3 i)^{4}

展開する sin(x)(sin(x)+1)

e x p an d sin (x) (sin (x) + 1)

展開する (2s-1)/(s^2(s+1)^3)

e x p an d \frac{2 s - 1}{s ^{2} ( s + 1 ) ^{3}}

展開する ((s+1)^2)/((s+2)^4)

e x p an d \frac{( s + 1 ) ^{2}}{( s + 2 ) ^{4}}