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solvefor x,xe^y+ye^x=1

解答

求解

x, x e^{y} + y e^{x} = 1

解答

x = - \frac{W ( \frac{y}{e ^{- e^{- y} + y}} ) e ^{y} - 1}{e ^{y}}

求解步骤

x e^{y} + y e^{x} = 1

将

x e^{y} + y e^{x} = 1

调整为朗伯形式:

y = (1 - x e^{y}) e^{- x}

用

- x + \frac{1}{e ^{y}} = u

和

x = - \frac{e ^{y} u - 1}{e ^{y}}

改写方程式

y = (1 - (- \frac{e ^{y} u - 1}{e ^{y}}) e^{y}) e^{- (- \frac{e ^{y} u - 1}{e ^{y}})}

化简

y = e^{\frac{e ^{y} u - 1}{e ^{y}}} e^{y} u

改写

y = e^{\frac{e ^{y} u - 1}{e ^{y}}} e^{y} u

为朗伯形式:

e^{u} u = \frac{y}{e ^{- e^{- y} + y}}

解

e^{u} u = \frac{y}{e ^{- e^{- y} + y}} : u = W (\frac{y}{e ^{- e^{- y} + y}})

u = W (\frac{y}{e ^{- e^{- y} + y}})

代回

u = - x + \frac{1}{e ^{y}}

，求解

x

解

- x + \frac{1}{e ^{y}} = W (\frac{y}{e ^{- e^{- y} + y}}) : x = - \frac{W ( \frac{y}{e ^{- e^{- y} + y}} ) e ^{y} - 1}{e ^{y}}

x = - \frac{W ( \frac{y}{e ^{- e^{- y} + y}} ) e ^{y} - 1}{e ^{y}}

作图

流行的例子

8^{x - 5} = 1024

27^{4x}=9^{x+1}

2 7^{4 x} = 9^{x + 1}

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1.15^{104}=1.02^x

1.1 5^{104} = 1.0 2^{x}

(n+4)/(3^n)= 2/3

\frac{n + 4}{3 ^{n}} = \frac{2}{3}