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人気のある微分積分 >

integral of sqrt(2+2sin(θ))

解

\int 2 + 2 sin (θ) d θ

解

22 (- cos (\frac{θ}{2}) + sin (\frac{θ}{2})) + C

解答ステップ

\int 2 + 2 sin (θ) d θ

因数

2 + 2 sin (θ) : 2 (sin (θ) + 1)

= \int 2 (sin (θ) + 1) d θ

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b,

, 以下を想定

a \geq 0, b \geq 0

= \int 2 sin (θ) + 1 d θ

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int sin (θ) + 1 d θ

u置換積分法を適用する

= 2 \cdot \int \frac{2 ( u + 1 )}{( 1 + u ^{2} ) 1 + u ^{2}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 2 \cdot \int \frac{u + 1}{( 1 + u ^{2} ) 1 + u ^{2}} d u

拡張

\frac{u + 1}{( 1 + u ^{2} ) 1 + u ^{2}} : \frac{u}{( 1 + u ^{2} ) 1 + u ^{2}} + \frac{1}{( 1 + u ^{2} ) 1 + u ^{2}}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot 2 (\int \frac{u}{( 1 + u ^{2} ) 1 + u ^{2}} d u + \int \frac{1}{( 1 + u ^{2} ) 1 + u ^{2}} d u)

\int \frac{u}{( 1 + u ^{2} ) 1 + u ^{2}} d u = - \frac{1}{1 + u ^{2}}

\int \frac{1}{( 1 + u ^{2} ) 1 + u ^{2}} d u = \frac{u}{1 + u ^{2}}

= 2 \cdot 2 (- \frac{1}{1 + u ^{2}} + \frac{u}{1 + u ^{2}})

代用を戻す

u = tan (\frac{θ}{2})

= 2 \cdot 2 - \frac{1}{1 + tan ^{2} ( \frac{θ}{2} )} + \frac{tan ( \frac{θ}{2} )}{1 + tan ^{2} ( \frac{θ}{2} )}

簡素化

2 \cdot 2 - \frac{1}{1 + tan ^{2} ( \frac{θ}{2} )} + \frac{tan ( \frac{θ}{2} )}{1 + tan ^{2} ( \frac{θ}{2} )} : 22 (- cos (\frac{θ}{2}) + sin (\frac{θ}{2}))

= 22 (- cos (\frac{θ}{2}) + sin (\frac{θ}{2}))

定数を解答に追加する

= 22 (- cos (\frac{θ}{2}) + sin (\frac{θ}{2})) + C

グラフ

人気の例

(dy)/(dx)=2x+3y-1

\frac{d y}{d x} = 2 x + 3 y - 1

integral of (7(1-tan^2(x)))/(sec^2(x))

\int \frac{7 ( 1 - tan ^{2} ( x ) )}{sec ^{2} ( x )} d x

integral of 56xe^{7x^2}

\int 56 x e^{7 x^{2}} d x

y^'+2y^2cos(x+1)=0

y^{^{'}} + 2 y^{2} cos (x + 1) = 0

derivative of {f}(x*{f}(x))

\frac{d}{d x} (f (x) \cdot f (x))