(\partial)/(\partial x)(1/(1+e^{-w^Tx)})

解

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{1 + e ^{- w^{T} x}})

\frac{e ^{- x w^{T}} w ^{T}}{( 1 + e ^{- x w^{T}} ) ^{2}}

解答ステップ

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{1 + e ^{- w^{T} x}})

w, T

を定数として扱う

指数の規則を適用する:

\frac{1}{a} = a^{- 1}

= \frac{\partial}{\partial x} ((1 + e^{- w^{T} x})^{- 1})

連鎖法則を適用:

- \frac{1}{( 1 + e ^{- w^{T} x} ) ^{2}} \frac{\partial}{\partial x} (1 + e^{- w^{T} x})

= - \frac{1}{( 1 + e ^{- w^{T} x} ) ^{2}} \frac{\partial}{\partial x} (1 + e^{- w^{T} x})

\frac{\partial}{\partial x} (1 + e^{- w^{T} x}) = - w^{T} e^{- w^{T} x}

= - \frac{1}{( 1 + e ^{- w^{T} x} ) ^{2}} (- w^{T} e^{- w^{T} x})

簡素化

- \frac{1}{( 1 + e ^{- w^{T} x} ) ^{2}} (- w^{T} e^{- w^{T} x}) : \frac{e ^{- x w^{T}} w ^{T}}{( 1 + e ^{- x w^{T}} ) ^{2}}

= \frac{e ^{- x w^{T}} w ^{T}}{( 1 + e ^{- x w^{T}} ) ^{2}}