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受欢迎的微积分 >

inverselaplace 1/(s(s^2-2s+3))

解答

的拉普拉斯逆变换

\frac{1}{s ( s ^{2} - 2 s + 3 )}

解答

\frac{1}{3} H (t) - \frac{1}{3} e^{t} cos (2 t) + \frac{1}{3 2} e^{t} sin (2 t)

求解步骤

L^{- 1} {\frac{1}{s ( s ^{2} - 2 s + 3 )}}

将

\frac{1}{s ( s ^{2} - 2 s + 3 )}

用部份分式展开:

\frac{1}{3 s} + \frac{- s + 2}{3 ( s ^{2} - 2 s + 3 )}

= L^{- 1} {\frac{1}{3 s} + \frac{- s + 2}{3 ( s ^{2} - 2 s + 3 )}}

展开

\frac{- s + 2}{3 ( s ^{2} - 2 s + 3 )} : - \frac{1}{3} \cdot \frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 2}

= L^{- 1} {\frac{1}{3 s} - \frac{1}{3} \cdot \frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 2}}

利用逆拉普拉斯变换的线性特性:

对于函数

f (s), g (s)

和常数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{3 s}} - \frac{1}{3} L^{- 1} {\frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 2}} + \frac{1}{3} L^{- 1} {\frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 2}}

L^{- 1} {\frac{1}{3 s}} : \frac{1}{3} H (t)

L^{- 1} {\frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 2}} : e^{t} cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 2}} : e^{t} \frac{1}{2} sin (2 t)

= \frac{1}{3} H (t) - \frac{1}{3} e^{t} cos (2 t) + \frac{1}{3} e^{t} \frac{1}{2} sin (2 t)

整理

\frac{1}{3} H (t) - \frac{1}{3} e^{t} cos (2 t) + \frac{1}{3} e^{t} \frac{1}{2} sin (2 t) : \frac{1}{3} H (t) - \frac{1}{3} e^{t} cos (2 t) + \frac{1}{3 2} e^{t} sin (2 t)

= \frac{1}{3} H (t) - \frac{1}{3} e^{t} cos (2 t) + \frac{1}{3 2} e^{t} sin (2 t)

流行的例子

derivative ln(1/(x^2))

d er i v a t i v e ln (\frac{1}{x ^{2}})

laplacetransform 5/3

l a pl a ce t r an s f or m \frac{5}{3}

面积 x^2,2x-1,0

a re a x^{2}, 2 x - 1, 0

泰勒 1/((1+x)^{1/2)}

t a y l or \frac{1}{( 1 + x ) ^{\frac{1}{2}}}

integral of 1/(sqrt(3x)(1+3x))

\int \frac{1}{3 x ( 1 + 3 x )} d x