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受欢迎的微积分 >

integral of 1/(y^2+2y)

解答

\int \frac{1}{y ^{2} + 2 y} d y

解答

- \frac{1}{2} ln ∣ y + 2 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y ∣ + C

求解步骤

\int \frac{1}{y ^{2} + 2 y} d y

对

y^{2} + 2 y

配方:

(y + 1)^{2} - 1

= \int \frac{1}{( y + 1 ) ^{2} - 1} d y

使用换元积分法

= \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

因式分解

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= \int \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u

使用积分常见定则:

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= - (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2})

u = y + 1

代回

= - (\frac{ln ∣ y + 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ y + 1 - 1 ∣}{2})

化简

- (\frac{ln ∣ y + 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ y + 1 - 1 ∣}{2}) : - \frac{1}{2} ln ∣ y + 2 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y ∣

= - \frac{1}{2} ln ∣ y + 2 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y ∣

解答补常数

= - \frac{1}{2} ln ∣ y + 2 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y ∣ + C

作图

流行的例子

limit as x approaches infinity of 3x

x \to \infty lim (3 x)

limit as x approaches 1 of \sqrt[3]{1-x}

x \to 1 lim (3 1 - x)

derivative ((12x-7))/(3x-9)

d er i v a t i v e \frac{( 12 x - 7 )}{3 x - 9}

f (x) = ln (3 x + 5)

derivative f(x)=(2x)/(sqrt(x^2+2))

d er i v a t i v e f (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 2}