integral of (x^2)/(sqrt(49+81x^2))

Lösung

\int \frac{x ^{2}}{49 + 81 x ^{2}} d x

\frac{1}{1458} (- 49 ln (\frac{9 x + 81 x ^{2} + 49}{7}) + 9 x 81 x^{2} + 49) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{49 + 81 x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{49 tan ^{2} ( u ) sec ( u )}{729} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{49}{729} \cdot \int tan^{2} (u) sec (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{49}{729} \cdot \int (- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) d u

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) : - sec (u) + sec^{3} (u)

= \frac{49}{729} \cdot \int - sec (u) + sec^{3} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{49}{729} (- \int sec (u) d u + \int sec^{3} (u) d u)

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int sec^{3} (u) d u = \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= \frac{49}{729} (- ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ + \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

Setze in

u = arctan (\frac{9}{7} x)

ein

= \frac{49}{729} (- ln tan (arctan (\frac{9}{7} x)) + sec (arctan (\frac{9}{7} x)) + \frac{1}{2} sec (arctan (\frac{9}{7} x)) tan (arctan (\frac{9}{7} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{9}{7} x)) + sec (arctan (\frac{9}{7} x)))

Vereinfache

\frac{49}{729} (- ln tan (arctan (\frac{9}{7} x)) + sec (arctan (\frac{9}{7} x)) + \frac{1}{2} sec (arctan (\frac{9}{7} x)) tan (arctan (\frac{9}{7} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{9}{7} x)) + sec (arctan (\frac{9}{7} x))) : \frac{1}{1458} (- 49 ln (\frac{9 x + 81 x ^{2} + 49}{7}) + 9 x 81 x^{2} + 49)

= \frac{1}{1458} (- 49 ln (\frac{9 x + 81 x ^{2} + 49}{7}) + 9 x 81 x^{2} + 49)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{1458} (- 49 ln (\frac{9 x + 81 x ^{2} + 49}{7}) + 9 x 81 x^{2} + 49) + C