integral of 4e^{-x}(e^{-3x}+1)

解答

\int 4 e^{- x} (e^{- 3 x} + 1) d x

- e^{- 4 x} - 4 e^{- x} + C

求解步骤

\int 4 e^{- x} (e^{- 3 x} + 1) d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int e^{- x} (e^{- 3 x} + 1) d x

乘开

e^{- x} (e^{- 3 x} + 1) : e^{- 4 x} + e^{- x}

= 4 \cdot \int e^{- 4 x} + e^{- x} d x

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 (\int e^{- 4 x} d x + \int e^{- x} d x)

\int e^{- 4 x} d x = - \frac{1}{4} e^{- 4 x}

\int e^{- x} d x = - e^{- x}

= 4 (- \frac{1}{4} e^{- 4 x} - e^{- x})

化简

4 (- \frac{1}{4} e^{- 4 x} - e^{- x}) : - e^{- 4 x} - 4 e^{- x}

= - e^{- 4 x} - 4 e^{- x}

解答补常数

= - e^{- 4 x} - 4 e^{- x} + C

\frac{d}{d x} (\frac{9 x}{e ^{x}})

d er i v a t i v e f (x) = arccos (3 x)

\frac{d}{d x} (arctan (x - 1 + x^{2}))

\frac{d y}{d x} = x^{2} (1 - y)

\int 3 x + cos (3 x) d x