inverselaplace 4/(s(s+2)^3)

解答

的拉普拉斯逆变换

\frac{4}{s ( s + 2 ) ^{3}}

\frac{1}{2} H (t) - \frac{1}{2} e^{- 2 t} - e^{- 2 t} t - e^{- 2 t} t^{2}

求解步骤

L^{- 1} {\frac{4}{s ( s + 2 ) ^{3}}}

将

\frac{4}{s ( s + 2 ) ^{3}}

用部份分式展开:

\frac{1}{2 s} - \frac{1}{2 ( s + 2 )} - \frac{1}{( s + 2 ) ^{2}} - \frac{2}{( s + 2 ) ^{3}}

= L^{- 1} {\frac{1}{2 s} - \frac{1}{2 ( s + 2 )} - \frac{1}{( s + 2 ) ^{2}} - \frac{2}{( s + 2 ) ^{3}}}

利用逆拉普拉斯变换的线性特性:

对于函数

f (s), g (s)

和常数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{2 s}} - L^{- 1} {\frac{1}{2 ( s + 2 )}} - L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2}}} - L^{- 1} {\frac{2}{( s + 2 ) ^{3}}}

L^{- 1} {\frac{1}{2 s}} : \frac{1}{2} H (t)

L^{- 1} {\frac{1}{2 ( s + 2 )}} : \frac{1}{2} e^{- 2 t}

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2}}} : e^{- 2 t} t

L^{- 1} {\frac{2}{( s + 2 ) ^{3}}} : e^{- 2 t} t^{2}

= \frac{1}{2} H (t) - \frac{1}{2} e^{- 2 t} - e^{- 2 t} t - e^{- 2 t} t^{2}

\int e^{l n (t)} d t

\int - cot (x) d x

\int \frac{35}{x ^{3} - 27} d x

a re a y = x^{3} - 10 x^{2} + 16 x, y = - x^{3} + 10 x^{2} - 16 x

x \to 0 lim (x^{2} e^{c o s (\frac{1}{x})})