inverselaplace 2/(s(s^2+2s+2))

解

逆ラプラス

\frac{2}{s ( s ^{2} + 2 s + 2 )}

H (t) - e^{- t} cos (t) - e^{- t} sin (t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{2}{s ( s ^{2} + 2 s + 2 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{2}{s ( s ^{2} + 2 s + 2 )} : \frac{1}{s} + \frac{- s - 2}{s ^{2} + 2 s + 2}

= L^{- 1} {\frac{1}{s} + \frac{- s - 2}{s ^{2} + 2 s + 2}}

拡張

\frac{- s - 2}{s ^{2} + 2 s + 2} : - \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 1} - 1 \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}

= L^{- 1} {\frac{1}{s} - \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 1} - 1 \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{s}} - L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}} - 1 \cdot L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}}

L^{- 1} {\frac{1}{s}} : H (t)

L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}} : e^{- t} cos (t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}} : e^{- t} sin (t)

= H (t) - e^{- t} cos (t) - 1 \cdot e^{- t} sin (t)

改良

H (t) - e^{- t} cos (t) - 1 e^{- t} sin (t) : H (t) - e^{- t} cos (t) - e^{- t} sin (t)

= H (t) - e^{- t} cos (t) - e^{- t} sin (t)