integral of sin(x/5)sin(x/2)

解

\int sin (\frac{x}{5}) sin (\frac{x}{2}) d x

\frac{1}{2} (\frac{10}{3} sin (\frac{3 x}{10}) - \frac{10}{7} sin (\frac{7 x}{10})) + C

解答ステップ

\int sin (\frac{x}{5}) sin (\frac{x}{2}) d x

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1}{2} (- cos (\frac{7 x}{10}) + cos (- \frac{3 x}{10})) d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int - cos (\frac{7 x}{10}) + cos (- \frac{3 x}{10}) d x

簡素化

- cos (\frac{7 x}{10}) + cos (- \frac{3 x}{10}) : cos (\frac{3 x}{10}) - cos (\frac{7 x}{10})

= \frac{1}{2} \cdot \int cos (\frac{3 x}{10}) - cos (\frac{7 x}{10}) d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int cos (\frac{3 x}{10}) d x - \int cos (\frac{7 x}{10}) d x)

\int cos (\frac{3 x}{10}) d x = \frac{10}{3} sin (\frac{3 x}{10})

\int cos (\frac{7 x}{10}) d x = \frac{10}{7} sin (\frac{7 x}{10})

= \frac{1}{2} (\frac{10}{3} sin (\frac{3 x}{10}) - \frac{10}{7} sin (\frac{7 x}{10}))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} (\frac{10}{3} sin (\frac{3 x}{10}) - \frac{10}{7} sin (\frac{7 x}{10})) + C