integral of sqrt((3x+1)^2-2)

Lösung

\int (3 x + 1)^{2} - 2 d x

\frac{1}{6} (- 2 ln 2 \frac{9 x ^{2} + 6 x - 1}{2} + 3 x + 1 + ln (2) + 3 x 9 x^{2} + 6 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int (3 x + 1)^{2} - 2 d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u ^{2} - 2}{3} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int u^{2} - 2 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \frac{1}{3} \cdot \int 2 tan^{2} (v) sec (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \int tan^{2} (v) sec (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) d v

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) : - sec (v) + sec^{3} (v)

= \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \int - sec (v) + sec^{3} (v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot 2 (- \int sec (v) d v + \int sec^{3} (v) d v)

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

\int sec^{3} (v) d v = \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= \frac{1}{3} \cdot 2 (- ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣ + \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣)

Ersetze zurück

= \frac{1}{3} \cdot 2 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{2} (3 x + 1))) + sec (arcsec (\frac{1}{2} (3 x + 1))) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{2} (3 x + 1))) tan (arcsec (\frac{1}{2} (3 x + 1))) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{2} (3 x + 1))) + sec (arcsec (\frac{1}{2} (3 x + 1))))

Vereinfache

\frac{1}{3} \cdot 2 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{2} (3 x + 1))) + sec (arcsec (\frac{1}{2} (3 x + 1))) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{2} (3 x + 1))) tan (arcsec (\frac{1}{2} (3 x + 1))) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{2} (3 x + 1))) + sec (arcsec (\frac{1}{2} (3 x + 1)))) : \frac{1}{6} (- 2 ln 2 \frac{9 x ^{2} + 6 x - 1}{2} + 3 x + 1 + ln (2) + 3 x 9 x^{2} + 6 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x - 1)

= \frac{1}{6} (- 2 ln 2 \frac{9 x ^{2} + 6 x - 1}{2} + 3 x + 1 + ln (2) + 3 x 9 x^{2} + 6 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{6} (- 2 ln 2 \frac{9 x ^{2} + 6 x - 1}{2} + 3 x + 1 + ln (2) + 3 x 9 x^{2} + 6 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x - 1) + C