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integral of nxe^{nθ}e^{-xn}

Lösung

\int n x e^{n θ} e^{- x n} d x

Lösung

\frac{e ^{θ n} ( - n e ^{- n x} x - e ^{- n x} )}{n} + C

Schritte zur Lösung

\int n x e^{n θ} e^{- x n} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{θ n} n \cdot \int e^{- n x} x d x

Wende U-Substitution an

= e^{θ n} n \cdot \int \frac{e ^{u} u}{n ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{θ n} n \frac{1}{n ^{2}} \cdot \int e^{u} u d u

Wende die partielle Integration an

= e^{θ n} n \frac{1}{n ^{2}} (e^{u} u - \int e^{u} d u)

\int e^{u} d u = e^{u}

= e^{θ n} n \frac{1}{n ^{2}} (e^{u} u - e^{u})

Setze in

u = - n x

ein

= e^{θ n} n \frac{1}{n ^{2}} (e^{- n x} (- n x) - e^{- n x})

Vereinfache

e^{θ n} n \frac{1}{n ^{2}} (e^{- n x} (- n x) - e^{- n x}) : \frac{e ^{θ n} ( - n e ^{- n x} x - e ^{- n x} )}{n}

= \frac{e ^{θ n} ( - n e ^{- n x} x - e ^{- n x} )}{n}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{e ^{θ n} ( - n e ^{- n x} x - e ^{- n x} )}{n} + C

Graph

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