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integral of 3sin^3(3x)cos^3(3x)

Lösung

\int 3 sin^{3} (3 x) cos^{3} (3 x) d x

- \frac{1}{4} cos^{4} (3 x) + \frac{1}{6} cos^{6} (3 x) + C

Schritte zur Lösung

\int 3 sin^{3} (3 x) cos^{3} (3 x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int sin^{3} (3 x) cos^{3} (3 x) d x

Wende U-Substitution an

= 3 \cdot \int sin^{3} (u) cos^{3} (u) \frac{1}{3} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int sin^{3} (u) cos^{3} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int (1 - cos^{2} (u)) sin (u) cos^{3} (u) d u

Wende U-Substitution an

= 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int - v^{3} (1 - v^{2}) d v

Multipliziere aus

- v^{3} (1 - v^{2}) : - v^{3} + v^{5}

= 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int - v^{3} + v^{5} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 \cdot \frac{1}{3} (- \int v^{3} d v + \int v^{5} d v)

\int v^{3} d v = \frac{v ^{4}}{4}

\int v^{5} d v = \frac{v ^{6}}{6}

= 3 \cdot \frac{1}{3} (- \frac{v ^{4}}{4} + \frac{v ^{6}}{6})

Ersetze zurück

= 3 \cdot \frac{1}{3} (- \frac{cos ^{4} ( 3 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 3 x )}{6})

Vereinfache

3 \cdot \frac{1}{3} (- \frac{cos ^{4} ( 3 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 3 x )}{6}) : - \frac{1}{4} cos^{4} (3 x) + \frac{1}{6} cos^{6} (3 x)

= - \frac{1}{4} cos^{4} (3 x) + \frac{1}{6} cos^{6} (3 x)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{4} cos^{4} (3 x) + \frac{1}{6} cos^{6} (3 x) + C

ma c l a u r in sin (5 x) \cdot sin (4 x)

\int (x^{2} + x)^{12} (2 x + 1) d x

\int \frac{1}{2} sin (2 x) - cos (x) + C d x

z \to - 2 lim (z^{3} + 8)

t an g e n t f (x) = \frac{8}{x}, at x = 25