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integral of (e^{2y})/(sqrt(e^y-1))

解答

\int \frac{e ^{2 y}}{e ^{y} - 1} d y

解答

2 (\frac{1}{3} (e^{y} - 1)^{\frac{3}{2}} + e^{y} - 1) + C

求解步骤

\int \frac{e ^{2 y}}{e ^{y} - 1} d y

使用换元积分法

= \int \frac{u}{u - 1} d u

使用换元积分法

= \int 2 (v^{2} + 1) d v

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int v^{2} + 1 d v

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int v^{2} d v + \int 1 d v)

\int v^{2} d v = \frac{v ^{3}}{3}

\int 1 d v = v

= 2 (\frac{v ^{3}}{3} + v)

代回

= 2 (\frac{( e ^{y} - 1 ) ^{3}}{3} + e^{y} - 1)

化简

2 (\frac{( e ^{y} - 1 ) ^{3}}{3} + e^{y} - 1) : 2 (\frac{1}{3} (e^{y} - 1)^{\frac{3}{2}} + e^{y} - 1)

= 2 (\frac{1}{3} (e^{y} - 1)^{\frac{3}{2}} + e^{y} - 1)

解答补常数

= 2 (\frac{1}{3} (e^{y} - 1)^{\frac{3}{2}} + e^{y} - 1) + C

作图

流行的例子

integral of tcos^5(t^2)

\int t cos^{5} (t^{2}) d t

derivative y=sqrt(1+2e^{8x)}

d er i v a t i v e y = 1 + 2 e^{8 x}

sum from n=1 to infinity of 1/(7n^2+n+6)

n = 1 \sum \infty \frac{1}{7 n ^{2} + n + 6}

derivative of-ce^{-x}

\frac{d}{d x} (- c e^{- x})

integral of 1/((2x-3)(3x^2+x))

\int \frac{1}{( 2 x - 3 ) ( 3 x ^{2} + x )} d x