inverselaplace 1/(s(s+4)^2)

解答

的拉普拉斯逆变换

\frac{1}{s ( s + 4 ) ^{2}}

\frac{1}{16} H (t) - \frac{1}{16} e^{- 4 t} - \frac{e ^{- 4 t} t}{4}

求解步骤

L^{- 1} {\frac{1}{s ( s + 4 ) ^{2}}}

将

\frac{1}{s ( s + 4 ) ^{2}}

用部份分式展开:

\frac{1}{16 s} - \frac{1}{16 ( s + 4 )} - \frac{1}{4 ( s + 4 ) ^{2}}

= L^{- 1} {\frac{1}{16 s} - \frac{1}{16 ( s + 4 )} - \frac{1}{4 ( s + 4 ) ^{2}}}

利用逆拉普拉斯变换的线性特性:

对于函数

f (s), g (s)

和常数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{16 s}} - L^{- 1} {\frac{1}{16 ( s + 4 )}} - L^{- 1} {\frac{1}{4 ( s + 4 ) ^{2}}}

L^{- 1} {\frac{1}{16 s}} : \frac{1}{16} H (t)

L^{- 1} {\frac{1}{16 ( s + 4 )}} : \frac{1}{16} e^{- 4 t}

L^{- 1} {\frac{1}{4 ( s + 4 ) ^{2}}} : \frac{e ^{- 4 t} t}{4}

= \frac{1}{16} H (t) - \frac{1}{16} e^{- 4 t} - \frac{e ^{- 4 t} t}{4}