inverselaplace s/((s^2+s+1))

解答

的拉普拉斯逆变换

\frac{s}{( s ^{2} + s + 1 )}

e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) - \frac{e ^{- \frac{t}{2}} sin ( \frac{3 t}{2} )}{3}

求解步骤

L^{- 1} {\frac{s}{( s ^{2} + s + 1 )}}

展开

\frac{s}{s ^{2} + s + 1} : \frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}

= L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}}

利用逆拉普拉斯变换的线性特性:

对于函数

f (s), g (s)

和常数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} - \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}}

L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} : e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2})

L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} : e^{- \frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2})

= e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) - \frac{1}{2} e^{- \frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2})

整理

e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) - \frac{1}{2} e^{- \frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2}) : e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) - \frac{e ^{- \frac{t}{2}} sin ( \frac{3 t}{2} )}{3}

= e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) - \frac{e ^{- \frac{t}{2}} sin ( \frac{3 t}{2} )}{3}

x \to - 3 lim (x^{2} + 9 x + 4)

\int_{3}^{5} (5 x^{3} + 6) d x

(y + 2) d x + (x - 2) d y = 0

\frac{d y}{d x} = \frac{( x + 1 )}{( x ^{2} + 2 x - 3 ) ^{2}}

x \to 9 lim (12)