inverselaplace s/((s+1)(s^2+4))

解

逆ラプラス

\frac{s}{( s + 1 ) ( s ^{2} + 4 )}

- \frac{1}{5} e^{- t} + \frac{1}{5} cos (2 t) + \frac{2 sin ( 2 t )}{5}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{s}{( s + 1 ) ( s ^{2} + 4 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{s}{( s + 1 ) ( s ^{2} + 4 )} : - \frac{1}{5 ( s + 1 )} + \frac{s + 4}{5 ( s ^{2} + 4 )}

= L^{- 1} {- \frac{1}{5 ( s + 1 )} + \frac{s + 4}{5 ( s ^{2} + 4 )}}

拡張

= L^{- 1} {\frac{s}{5 ( s ^{2} + 4 )} + \frac{4}{5 ( s ^{2} + 4 )} - \frac{1}{5 ( s + 1 )}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= - \frac{1}{5} L^{- 1} {\frac{1}{s + 1}} + \frac{1}{5} L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 4}} + \frac{4}{5} L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 4}}

L^{- 1} {\frac{1}{s + 1}} : e^{- t}

L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 4}} : cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 4}} : \frac{1}{2} sin (2 t)

= - \frac{1}{5} e^{- t} + \frac{1}{5} cos (2 t) + \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} sin (2 t)

改良

- \frac{1}{5} e^{- t} + \frac{1}{5} cos (2 t) + \frac{4}{5} \frac{1}{2} sin (2 t) : - \frac{1}{5} e^{- t} + \frac{1}{5} cos (2 t) + \frac{2 sin ( 2 t )}{5}

= - \frac{1}{5} e^{- t} + \frac{1}{5} cos (2 t) + \frac{2 sin ( 2 t )}{5}