integral of (4e^{2x})/(e^{2x)+14e^x+45}

Lösung

\int \frac{4 e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 14 e ^{x} + 45} d x

9 ln ∣ e^{x} + 9 ∣ - 5 ln ∣ e^{x} + 5 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{4 e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 14 e ^{x} + 45} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 14 e ^{x} + 45} d x

Wende U-Substitution an

= 4 \cdot \int \frac{u}{u ^{2} + 14 u + 45} d u

Vervollständige das Quadrat

u^{2} + 14 u + 45 : (u + 7)^{2} - 4

= 4 \cdot \int \frac{u}{( u + 7 ) ^{2} - 4} d u

Wende U-Substitution an

= 4 \cdot \int \frac{v - 7}{v ^{2} - 4} d v

Ermittle den Partialbruch von

\frac{v - 7}{v ^{2} - 4} : \frac{9}{4 ( v + 2 )} - \frac{5}{4 ( v - 2 )}

= 4 \cdot \int \frac{9}{4 ( v + 2 )} - \frac{5}{4 ( v - 2 )} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 (\int \frac{9}{4 ( v + 2 )} d v - \int \frac{5}{4 ( v - 2 )} d v)

\int \frac{9}{4 ( v + 2 )} d v = \frac{9}{4} ln ∣ v + 2 ∣

\int \frac{5}{4 ( v - 2 )} d v = \frac{5}{4} ln ∣ v - 2 ∣

= 4 (\frac{9}{4} ln ∣ v + 2 ∣ - \frac{5}{4} ln ∣ v - 2 ∣)

Ersetze zurück

= 4 (\frac{9}{4} ln ∣ e^{x} + 7 + 2 ∣ - \frac{5}{4} ln ∣ e^{x} + 7 - 2 ∣)

Vereinfache

4 (\frac{9}{4} ln ∣ e^{x} + 7 + 2 ∣ - \frac{5}{4} ln ∣ e^{x} + 7 - 2 ∣) : 9 ln ∣ e^{x} + 9 ∣ - 5 ln ∣ e^{x} + 5 ∣

= 9 ln ∣ e^{x} + 9 ∣ - 5 ln ∣ e^{x} + 5 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 9 ln ∣ e^{x} + 9 ∣ - 5 ln ∣ e^{x} + 5 ∣ + C