интеграл от e^{(-x^2)/2}

Решение

\int e^{\frac{- x ^{2}}{2}} d x

(\frac{π}{2})^{\frac{1}{2}} erf (\frac{x}{2}) + C

Шаги решения

\int e^{\frac{- x ^{2}}{2}} d x

После упрощения получаем

= \int e^{- \frac{x ^{2}}{2}} d x

Примените правило возведения в степень:

\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}

\frac{x ^{2}}{2} = (\frac{x}{2})^{2}

= \int e^{- (\frac{x}{2})^{2}} d x

Применить подстановку интеграла

= \int e^{- u^{2}} 2 d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int e^{- u^{2}} d u

Используйте неэлементарный интеграл:

\int e^{- u^{2}} d u = \frac{π}{2} erf (u)

= 2 \frac{π}{2} erf (u)

Делаем обратную замену

u = \frac{x}{2}

= 2 \frac{π}{2} erf (\frac{x}{2})

Упростите

2 \frac{π}{2} erf (\frac{x}{2}) : (\frac{π}{2})^{\frac{1}{2}} erf (\frac{x}{2})

= (\frac{π}{2})^{\frac{1}{2}} erf (\frac{x}{2})

Добавить константу к решению

= (\frac{π}{2})^{\frac{1}{2}} erf (\frac{x}{2}) + C