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integral of sqrt(16x-x^2)

Lösung

\int 16 x - x^{2} d x

32 (arcsin (\frac{1}{8} x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{8} x - 1))) + C

Schritte zur Lösung

\int 16 x - x^{2} d x

Vervollständige das Quadrat

16 x - x^{2} : - (x - 8)^{2} + 64

= \int - (x - 8)^{2} + 64 d x

Wende U-Substitution an

= \int - u^{2} + 64 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 64 cos^{2} (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 64 \cdot \int cos^{2} (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 64 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 64 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 64 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= 64 \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= 64 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{8} (x - 8)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{8} (x - 8))))

Vereinfache

64 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{8} (x - 8)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{8} (x - 8)))) : 32 (arcsin (\frac{1}{8} x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{8} x - 1)))

= 32 (arcsin (\frac{1}{8} x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{8} x - 1)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 32 (arcsin (\frac{1}{8} x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{8} x - 1))) + C

\int_{- 1}^{3} x^{5} d x

t a y l or \frac{1}{x - 1}, 2

\frac{d}{d x} (in (3 x + 1) (x + 2) 2)

f a c t or a x^{n} + b x^{n - 1}

\int 2 x^{3} - 6 x^{2} d x