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integral of 1/(x^2-y^2)

Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} - y ^{2}} d y

Lösung

\frac{1}{2 x} (ln \frac{y}{x} + 1 - ln \frac{y}{x} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} - y ^{2}} d y

Faktorisiere

x^{2} - y^{2} : - (- x^{2} + y^{2})

= \int \frac{1}{- ( - x ^{2} + y ^{2} )} d y

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{- x ^{2} + y ^{2}} d y

Wende integrale Substitution an

= - \int \frac{1}{x ( u ^{2} - 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{x} \cdot \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

Faktorisiere

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= - \frac{1}{x} \cdot \int \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{x} (- \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= - \frac{1}{x} (- (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}))

Setze in

u = \frac{y}{x}

ein

= - \frac{1}{x} (- (\frac{ln \frac{y}{x} + 1}{2} - \frac{ln \frac{y}{x} - 1}{2}))

Vereinfache

- \frac{1}{x} (- (\frac{ln \frac{y}{x} + 1}{2} - \frac{ln \frac{y}{x} - 1}{2})) : \frac{1}{2 x} (ln \frac{y}{x} + 1 - ln \frac{y}{x} - 1)

= \frac{1}{2 x} (ln \frac{y}{x} + 1 - ln \frac{y}{x} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2 x} (ln \frac{y}{x} + 1 - ln \frac{y}{x} - 1) + C

Graph

Beliebte Beispiele

derivative f(x)=(x^2+2x-6)/((x+1)^2)

d er i v a t i v e f (x) = \frac{x ^{2} + 2 x - 6}{( x + 1 ) ^{2}}

limit as x approaches 0-of e^{5/x}

x \to 0 - lim (e^{\frac{5}{x}})

limit as x approaches infinity of x^{-4}

x \to \infty lim (x^{- 4})

(\partial)/(\partial y)(sqrt(x^3+y^2))

\frac{\partial}{\partial y} (x^{3} + y^{2})

limit as x approaches 5-of 1/(x-5)

x \to 5 - lim (\frac{1}{x - 5})