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integral of sin^4(4θ)

Lösung

\int sin^{4} (4 θ) d θ

Lösung

\frac{1}{4} (- \frac{1}{4} sin^{3} (4 θ) cos (4 θ) + \frac{3}{8} (4 θ - \frac{1}{2} sin (8 θ))) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{4} (4 θ) d θ

Wende U-Substitution an

= \int sin^{4} (u) \frac{1}{4} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot \int sin^{4} (u) d u

Wende integrale Reduktion an

= \frac{1}{4} (- \frac{cos ( u ) sin ^{3} ( u )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \int sin^{2} (u) d u)

\int sin^{2} (u) d u = \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

= \frac{1}{4} (- \frac{cos ( u ) sin ^{3} ( u )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)))

Setze in

u = 4 θ

ein

= \frac{1}{4} (- \frac{cos ( 4 θ ) sin ^{3} ( 4 θ )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (4 θ - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 4 θ)))

Vereinfache

\frac{1}{4} (- \frac{cos ( 4 θ ) sin ^{3} ( 4 θ )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (4 θ - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 4 θ))) : \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} sin^{3} (4 θ) cos (4 θ) + \frac{3}{8} (4 θ - \frac{1}{2} sin (8 θ)))

= \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} sin^{3} (4 θ) cos (4 θ) + \frac{3}{8} (4 θ - \frac{1}{2} sin (8 θ)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} sin^{3} (4 θ) cos (4 θ) + \frac{3}{8} (4 θ - \frac{1}{2} sin (8 θ))) + C

Graph

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