integral of sin(mx)sin(nx)

解

\int sin (m x) sin (n x) d x

\frac{1}{2} (- \frac{1}{m + n} sin (m x + n x) + \frac{1}{m - n} sin (m x - n x)) + C

解答ステップ

\int sin (m x) sin (n x) d x

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{- cos ( m x + n x ) + cos ( m x - n x )}{2} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int - cos (m x + n x) + cos (m x - n x) d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (- \int cos (m x + n x) d x + \int cos (m x - n x) d x)

\int cos (m x + n x) d x = \frac{1}{m + n} sin (m x + n x)

\int cos (m x - n x) d x = \frac{1}{m - n} sin (m x - n x)

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{m + n} sin (m x + n x) + \frac{1}{m - n} sin (m x - n x))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{m + n} sin (m x + n x) + \frac{1}{m - n} sin (m x - n x)) + C