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人気のある微分積分 >

integral of (cos(x))/(sin^3(x)-4sin(x))

解

\int \frac{cos ( x )}{sin ^{3} ( x ) - 4 sin ( x )} d x

解

- \frac{1}{4} ln ∣ sin (x) ∣ + \frac{1}{8} ln ∣ sin (x) + 2 ∣ + \frac{1}{8} ln ∣ sin (x) - 2 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{cos ( x )}{sin ^{3} ( x ) - 4 sin ( x )} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{1}{u ^{3} - 4 u} d u

因数

u^{3} - 4 u : - (- u^{3} + 4 u)

= \int \frac{1}{- ( - u ^{3} + 4 u )} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{- u ^{3} + 4 u} d u

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{- u ^{3} + 4 u} : \frac{1}{4 u} - \frac{1}{8 ( u + 2 )} - \frac{1}{8 ( u - 2 )}

= - \int \frac{1}{4 u} - \frac{1}{8 ( u + 2 )} - \frac{1}{8 ( u - 2 )} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (\int \frac{1}{4 u} d u - \int \frac{1}{8 ( u + 2 )} d u - \int \frac{1}{8 ( u - 2 )} d u)

\int \frac{1}{4 u} d u = \frac{1}{4} ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{8 ( u + 2 )} d u = \frac{1}{8} ln ∣ u + 2 ∣

\int \frac{1}{8 ( u - 2 )} d u = \frac{1}{8} ln ∣ u - 2 ∣

= - (\frac{1}{4} ln ∣ u ∣ - \frac{1}{8} ln ∣ u + 2 ∣ - \frac{1}{8} ln ∣ u - 2 ∣)

代用を戻す

u = sin (x)

= - (\frac{1}{4} ln ∣ sin (x) ∣ - \frac{1}{8} ln ∣ sin (x) + 2 ∣ - \frac{1}{8} ln ∣ sin (x) - 2 ∣)

簡素化

= - \frac{1}{4} ln ∣ sin (x) ∣ + \frac{1}{8} ln ∣ sin (x) + 2 ∣ + \frac{1}{8} ln ∣ sin (x) - 2 ∣

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{4} ln ∣ sin (x) ∣ + \frac{1}{8} ln ∣ sin (x) + 2 ∣ + \frac{1}{8} ln ∣ sin (x) - 2 ∣ + C

グラフ

人気の例

integral of (csc^2(θ)+9)

面積 f(x)=cos(x),0, pi/4

tangent f(x)=(x^3)/2-4/(3x),\at x=2

derivative of 3x^2-3x