integral of 1/(e^x+4e^{-x)}

Lösung

\int \frac{1}{e ^{x} + 4 e ^{- x}} d x

\frac{1}{2} arctan (\frac{e ^{x}}{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{e ^{x} + 4 e ^{- x}} d x

Faktorisiere

\frac{1}{e ^{x} + 4 e ^{- x}}

= \int \frac{1}{e ^{- x} ( e ^{2 x} + 4 )} d x

Wende Exponentenregel an:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{e ^{- x} ( e ^{2 x} + 4 )} = e^{x} \frac{1}{( e ^{2 x} + 4 )}

= \int e^{x} \frac{1}{e ^{2 x} + 4} d x

Vereinfache

e^{x} \frac{1}{e ^{2 x} + 4} : \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 4}

= \int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 4} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{u ^{2} + 4} d u

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{1}{2 ( v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= \frac{1}{2} arctan (v)

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} arctan (\frac{e ^{x}}{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} arctan (\frac{e ^{x}}{2}) + C

\int_{1}^{3} 2 π x (- x^{2} + 4 x - 3) d x

d er i v a t i v e y = x^{\frac{3}{2}} (x + c e^{x})

\int 10 - (14 - 2 (16 - 2 x)^{\frac{1}{2}}) d x

\int x^{4} - 8 x^{2} + 16 d x

x \to - 3 lim (\frac{x}{( x + 3 ) ^{4}})