integral of (x-3)^2*e^{-x}

解

\int (x - 3)^{2} \cdot e^{- x} d x

- e^{- x} x^{2} + 4 e^{- x} x - 5 e^{- x} + C

解答ステップ

\int (x - 3)^{2} e^{- x} d x

拡張

(x - 3)^{2} e^{- x} : e^{- x} x^{2} - 6 e^{- x} x + 9 e^{- x}

= \int e^{- x} x^{2} - 6 e^{- x} x + 9 e^{- x} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{- x} x^{2} d x - \int 6 e^{- x} x d x + \int 9 e^{- x} d x

\int e^{- x} x^{2} d x = - e^{- x} x^{2} + 2 (- e^{- x} x - e^{- x})

\int 6 e^{- x} x d x = 6 (- e^{- x} x - e^{- x})

\int 9 e^{- x} d x = - 9 e^{- x}

= - e^{- x} x^{2} + 2 (- e^{- x} x - e^{- x}) - 6 (- e^{- x} x - e^{- x}) - 9 e^{- x}

簡素化

- e^{- x} x^{2} + 2 (- e^{- x} x - e^{- x}) - 6 (- e^{- x} x - e^{- x}) - 9 e^{- x} : - e^{- x} x^{2} + 4 e^{- x} x - 5 e^{- x}

= - e^{- x} x^{2} + 4 e^{- x} x - 5 e^{- x}

定数を解答に追加する

= - e^{- x} x^{2} + 4 e^{- x} x - 5 e^{- x} + C