integral of sin(x)cos(nx)

解

\int sin (x) cos (n x) d x

\frac{1}{2} (- \frac{1}{1 + n} cos (x + n x) - \frac{1}{1 - n} cos (x - n x)) + C

解答ステップ

\int sin (x) cos (n x) d x

次の恒等を使用する:

cos (t) sin (s) = \frac{sin ( s + t ) + sin ( s - t )}{2}

= \int \frac{sin ( x + n x ) + sin ( x - n x )}{2} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int sin (x + n x) + sin (x - n x) d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int sin (x + n x) d x + \int sin (x - n x) d x)

\int sin (x + n x) d x = - \frac{1}{1 + n} cos (x + n x)

\int sin (x - n x) d x = - \frac{1}{1 - n} cos (x - n x)

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{1 + n} cos (x + n x) - \frac{1}{1 - n} cos (x - n x))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{1 + n} cos (x + n x) - \frac{1}{1 - n} cos (x - n x)) + C