integral of ln(sqrt(x)+sqrt(1+x))

解

\int ln (x + 1 + x) d x

x ln (x + 1 + x) - x x + 1 + \frac{1}{2} \frac{x + 1}{x} x + \frac{1}{2} ln x + 1 + x + C

解答ステップ

\int ln (x + 1 + x) d x

部分積分を適用する

= x ln (x + 1 + x) - \int \frac{x}{2 x + 1} d x

\int \frac{x}{2 x + 1} d x = x x + 1 - \frac{1}{2} \frac{x + 1}{x} x - \frac{1}{2} ln x + 1 + x

= x ln (x + 1 + x) - (x x + 1 - \frac{1}{2} \frac{x + 1}{x} x - \frac{1}{2} ln x + 1 + x)

簡素化

= x ln (x + 1 + x) - x x + 1 + \frac{1}{2} \frac{x + 1}{x} x + \frac{1}{2} ln x + 1 + x

定数を解答に追加する

= x ln (x + 1 + x) - x x + 1 + \frac{1}{2} \frac{x + 1}{x} x + \frac{1}{2} ln x + 1 + x + C