integral of xsin(npix)

解

\int x sin (nπ x) d x

- \frac{1}{πn} x cos (πn x) + \frac{1}{π ^{2} n ^{2}} sin (πn x) + C

解答ステップ

\int x sin (nπ x) d x

部分積分を適用する

= - \frac{1}{πn} x cos (πn x) - \int - \frac{1}{πn} cos (πn x) d x

\int - \frac{1}{πn} cos (πn x) d x = - \frac{1}{π ^{2} n ^{2}} sin (πn x)

= - \frac{1}{πn} x cos (πn x) - (- \frac{1}{π ^{2} n ^{2}} sin (πn x))

簡素化

= - \frac{1}{πn} x cos (πn x) + \frac{1}{π ^{2} n ^{2}} sin (πn x)

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{πn} x cos (πn x) + \frac{1}{π ^{2} n ^{2}} sin (πn x) + C