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人気のある微分積分 >

integral of 1/((x-2)(x-1)^2)

解

\int \frac{1}{( x - 2 ) ( x - 1 ) ^{2}} d x

解

ln ∣ x - 2 ∣ - ln ∣ x - 1 ∣ + \frac{1}{x - 1} + C

解答ステップ

\int \frac{1}{( x - 2 ) ( x - 1 ) ^{2}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{1}{u ( u + 1 ) ^{2}} d u

u置換積分法を適用する

= \int \frac{1}{( v - 1 ) v ^{2}} d v

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{( v - 1 ) v ^{2}} : \frac{1}{v - 1} - \frac{1}{v} - \frac{1}{v ^{2}}

= \int \frac{1}{v - 1} - \frac{1}{v} - \frac{1}{v ^{2}} d v

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{v - 1} d v - \int \frac{1}{v} d v - \int \frac{1}{v ^{2}} d v

\int \frac{1}{v - 1} d v = ln ∣ v - 1 ∣

\int \frac{1}{v} d v = ln ∣ v ∣

\int \frac{1}{v ^{2}} d v = - \frac{1}{v}

= ln ∣ v - 1 ∣ - ln ∣ v ∣ - (- \frac{1}{v})

代用を戻す

= ln ∣ x - 2 + 1 - 1 ∣ - ln ∣ x - 2 + 1 ∣ - (- \frac{1}{x - 2 + 1})

簡素化

= ln ∣ x - 2 ∣ - ln ∣ x - 1 ∣ + \frac{1}{x - 1}

定数を解答に追加する

= ln ∣ x - 2 ∣ - ln ∣ x - 1 ∣ + \frac{1}{x - 1} + C

グラフ

人気の例

integral of 1/((1+e^x)^2)

\int \frac{1}{( 1 + e ^{x} ) ^{2}} d x

integral of 1/((arcsin(x))^2sqrt(1-x^2))

\int \frac{1}{( arcsin ( x ) ) ^{2} 1 - x ^{2}} d x

integral of (ln(1+e^x))/(e^x)

\int \frac{ln ( 1 + e ^{x} )}{e ^{x}} d x

integral of 1/(x^4sqrt(x^2-4))

\int \frac{1}{x ^{4} x ^{2} - 4} d x

integral of (1+cos(x))/(x+sin(x))

\int \frac{1 + cos ( x )}{x + sin ( x )} d x