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integral of (e^{2x})/((e^x+1)^2)

Lösung

\int \frac{e ^{2 x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{2}} d x

ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{e ^{x} + 1} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{e ^{2 x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{2}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{2 ( u + 1 ) ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{( u + 1 ) ^{2}} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2 v}{( v + 1 ) ^{2}} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{v}{( v + 1 ) ^{2}} d v

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{w - 1}{w ^{2}} d w

Multipliziere aus

\frac{w - 1}{w ^{2}} : \frac{1}{w} - \frac{1}{w ^{2}}

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{w} - \frac{1}{w ^{2}} d w

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 (\int \frac{1}{w} d w - \int \frac{1}{w ^{2}} d w)

\int \frac{1}{w} d w = ln ∣ w ∣

\int \frac{1}{w ^{2}} d w = - \frac{1}{w}

= \frac{1}{2} \cdot 2 (ln ∣ w ∣ - (- \frac{1}{w}))

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} \cdot 2 (ln e^{2 x} + 1 - (- \frac{1}{e ^{2 x} + 1}))

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot 2 (ln e^{2 x} + 1 - (- \frac{1}{e ^{2 x} + 1})) : ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{e ^{x} + 1}

= ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{e ^{x} + 1}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{e ^{x} + 1} + C

\int \frac{x ^{3} - x ^{2} - 12}{x} d x

\int \frac{x}{2 + x ^{3}} d x

\int \frac{1}{1 + 3 1 + x} d x

\int \frac{2}{( x - 2 ) ( 1 - x )} d x

\int \frac{x ^{2} + 3}{x ^{2} - 4} d x