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integral of 1/x sqrt((1+x)/x)

Lösung

\int \frac{1}{x} \frac{1 + x}{x} d x

ln \frac{x + 1}{x} + 1 - ln \frac{x + 1}{x} - 1 - 2 \frac{x + 1}{x} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x} \frac{1 + x}{x} d x

\frac{1}{x} = \frac{1 - x}{x} + 1

= \int (\frac{1 - x}{x} + 1) \frac{1 + x}{x} d x

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{u + 1}{u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{u + 1}{u} d u

Wende U-Substitution an

= - \int \frac{2 v ^{2}}{v ^{2} - 1} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - 2 \cdot \int \frac{v ^{2}}{v ^{2} - 1} d v

Faktorisiere

v^{2} - 1 : - (- v^{2} + 1)

= - 2 \cdot \int \frac{v ^{2}}{- ( - v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - 2 (- \int \frac{v ^{2}}{- v ^{2} + 1} d v)

\frac{v ^{2}}{- v ^{2} + 1} = \frac{1}{- v ^{2} + 1} - 1

= - 2 (- \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} - 1 d v)

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - 2 (- (\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v - \int 1 d v))

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

\int 1 d v = v

= - 2 (- (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2} - v))

Ersetze zurück

= - 2 - \frac{ln \frac{1 - x}{x} + 1 + 1 + 1}{2} - \frac{ln \frac{1 - x}{x} + 1 + 1 - 1}{2} - \frac{1 - x}{x} + 1 + 1

Vereinfache

- 2 - \frac{ln \frac{1 - x}{x} + 1 + 1 + 1}{2} - \frac{ln \frac{1 - x}{x} + 1 + 1 - 1}{2} - \frac{1 - x}{x} + 1 + 1 : ln \frac{x + 1}{x} + 1 - ln \frac{x + 1}{x} - 1 - 2 \frac{x + 1}{x}

= ln \frac{x + 1}{x} + 1 - ln \frac{x + 1}{x} - 1 - 2 \frac{x + 1}{x}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln \frac{x + 1}{x} + 1 - ln \frac{x + 1}{x} - 1 - 2 \frac{x + 1}{x} + C

\int \frac{x + 1}{x ^{2} - 5 x + 6} d x

\int (\frac{3}{1 + x ^{2}} - \frac{2}{1 - x ^{2}}) d x

\int \frac{x + 3}{x ^{2} - 5 x + 6} d x

\int cos (2 x) sin (5 x) d x

\int x^{2} 3 x d x