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人気のある微分積分 >

integral of (sin^3(x))/(2+cos(x))

解

\int \frac{sin ^{3} ( x )}{2 + cos ( x )} d x

解

3 ln ∣ cos (x) + 2 ∣ + \frac{1}{2} (cos (x) + 2)^{2} - 4 cos (x) - 8 + C

解答ステップ

\int \frac{sin ^{3} ( x )}{2 + cos ( x )} d x

u置換積分法を適用する

= \int - \frac{1 - u ^{2}}{2 + u} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1 - u ^{2}}{2 + u} d u

拡張

\frac{1 - u ^{2}}{2 + u} : \frac{1}{2 + u} - \frac{u ^{2}}{2 + u}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (\int \frac{1}{2 + u} d u - \int \frac{u ^{2}}{2 + u} d u)

\int \frac{1}{2 + u} d u = ln ∣ 2 + u ∣

\int \frac{u ^{2}}{2 + u} d u = \frac{( 2 + u ) ^{2}}{2} - 4 (2 + u) + 4 ln ∣ 2 + u ∣

= - (ln ∣ 2 + u ∣ - (\frac{( 2 + u ) ^{2}}{2} - 4 (2 + u) + 4 ln ∣ 2 + u ∣))

代用を戻す

u = cos (x)

= - (ln ∣ 2 + cos (x) ∣ - (\frac{( 2 + cos ( x ) ) ^{2}}{2} - 4 (2 + cos (x)) + 4 ln ∣ 2 + cos (x) ∣))

簡素化

- (ln ∣ 2 + cos (x) ∣ - (\frac{( 2 + cos ( x ) ) ^{2}}{2} - 4 (2 + cos (x)) + 4 ln ∣ 2 + cos (x) ∣)) : 3 ln ∣ cos (x) + 2 ∣ + \frac{1}{2} (cos (x) + 2)^{2} - 4 cos (x) - 8

= 3 ln ∣ cos (x) + 2 ∣ + \frac{1}{2} (cos (x) + 2)^{2} - 4 cos (x) - 8

定数を解答に追加する

= 3 ln ∣ cos (x) + 2 ∣ + \frac{1}{2} (cos (x) + 2)^{2} - 4 cos (x) - 8 + C

グラフ

人気の例

integral of (3x^2)/(1+x^2)

integral of 5/(4x^2-4x+10)

積分記号 cos^4(x)

integral of (sqrt(3x+1))/x

integral of (3x^5-8x^3+2)