intégrale de 1/(sqrt(x(x+1)^3))

Solution

\int \frac{1}{x ( x + 1 ) ^{3}} d x

2 \frac{x}{1 + x} + C

étapes des solutions

\int \frac{1}{x ( x + 1 ) ^{3}} d x

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

x (x + 1)^{3} = x (x + 1)^{3}

= \int \frac{1}{x ( x + 1 ) ^{3}} d x

Appliquer l'intégration par subsitution

= \int \frac{2}{( u ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Extraire la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Appliquer la subsitution trigonométrique

= 2 \cdot \int cos (v) d v

Utiliser l'intégrale commune:

\int cos (v) d v = sin (v)

= 2 sin (v)

Rétrosubstituer

= 2 sin (arctan (x))

Simplifier

2 sin (arctan (x)) : 2 \frac{x}{1 + x}

= 2 \frac{x}{1 + x}

Ajouter une constante à la solution

= 2 \frac{x}{1 + x} + C