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integral of 1/(sqrt(x+1)+\sqrt{(x+1)^3)}

解答

\int \frac{1}{x + 1 + ( x + 1 ) ^{3}} d x

解答

2 arctan (1 + x) + C

求解步骤

\int \frac{1}{x + 1 + ( x + 1 ) ^{3}} d x

(x + 1)^{3} = (x + 1)^{\frac{3}{2}},

假定

(x + 1) \geq 0

= \int \frac{1}{x + 1 + ( x + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

分解

\frac{1}{x + 1 + ( x + 1 ) ^{\frac{3}{2}}}

= \int \frac{1}{( x + 2 ) 1 + x} d x

使用换元积分法

= \int \frac{2}{u ^{2} + 1} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u

使用积分常见定则:

\int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u = arctan (u)

= 2 arctan (u)

u = 1 + x

代回

= 2 arctan (1 + x)

解答补常数

= 2 arctan (1 + x) + C

作图

流行的例子

integral of x^{-2}sqrt(x)

\int x^{- 2} x d x

integral of 2/((y-1)sqrt(y^2-2y))

\int \frac{2}{( y - 1 ) y ^{2} - 2 y} d y

integral of ysqrt(y+6)

\int y y + 6 d y

integral of e^{2x}cos(x/3)

\int e^{2 x} cos (\frac{x}{3}) d x

integral of-4x^3e^{x^4}

\int - 4 x^{3} e^{x^{4}} d x