integral of 8/(x^3-4x)

Lösung

\int \frac{8}{x ^{3} - 4 x} d x

- 2 ln ∣ x ∣ + ln ∣ x + 2 ∣ + ln ∣ x - 2 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{8}{x ^{3} - 4 x} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \int \frac{1}{x ^{3} - 4 x} d x

Faktorisiere

x^{3} - 4 x : - (- x^{3} + 4 x)

= 8 \cdot \int \frac{1}{- ( - x ^{3} + 4 x )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 (- \int \frac{1}{- x ^{3} + 4 x} d x)

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{- x ^{3} + 4 x} : \frac{1}{4 x} - \frac{1}{8 ( x + 2 )} - \frac{1}{8 ( x - 2 )}

= 8 (- \int \frac{1}{4 x} - \frac{1}{8 ( x + 2 )} - \frac{1}{8 ( x - 2 )} d x)

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 8 (- (\int \frac{1}{4 x} d x - \int \frac{1}{8 ( x + 2 )} d x - \int \frac{1}{8 ( x - 2 )} d x))

\int \frac{1}{4 x} d x = \frac{1}{4} ln ∣ x ∣

\int \frac{1}{8 ( x + 2 )} d x = \frac{1}{8} ln ∣ x + 2 ∣

\int \frac{1}{8 ( x - 2 )} d x = \frac{1}{8} ln ∣ x - 2 ∣

= 8 (- (\frac{1}{4} ln ∣ x ∣ - \frac{1}{8} ln ∣ x + 2 ∣ - \frac{1}{8} ln ∣ x - 2 ∣))

Vereinfache

8 (- (\frac{1}{4} ln ∣ x ∣ - \frac{1}{8} ln ∣ x + 2 ∣ - \frac{1}{8} ln ∣ x - 2 ∣)) : - 2 ln ∣ x ∣ + ln ∣ x + 2 ∣ + ln ∣ x - 2 ∣

= - 2 ln ∣ x ∣ + ln ∣ x + 2 ∣ + ln ∣ x - 2 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - 2 ln ∣ x ∣ + ln ∣ x + 2 ∣ + ln ∣ x - 2 ∣ + C

\int x^{2} e^{\frac{- x ^{2}}{2}} d x

\int sec^{7} (x) tan^{5} (x) d x

\int \frac{t ^{2}}{4 4 + t ^{3}} d t

\int \frac{1 + 2 x ^{2}}{x ^{4} ( 1 + x ^{2} )} d x

\int \frac{1}{s ^{\frac{1}{2}} - s ^{\frac{1}{4}}} d s