интеграл от 1/(e^{x+e^{-x)}}

Решение

\int \frac{1}{e ^{x + e^{- x}}} d x

e^{- e^{- x}} + C

Шаги решения

\int \frac{1}{e ^{x + e^{- x}}} d x

Примените правило возведения в степень:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{e ^{x + e^{- x}}} = e^{- x - e^{- x}}

= \int e^{- x - e^{- x}} d x

Применить подстановку интеграла

= \int - e^{- u} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int e^{- u} d u

Применить подстановку интеграла

= - \int - e^{v} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - (- \int e^{v} d v)

Использовать общий интеграл:

\int e^{v} d v = e^{v}

= - (- e^{v})

Делаем обратную замену

= - (- e^{- e^{- x}})

После упрощения получаем

= e^{- e^{- x}}

Добавить константу к решению

= e^{- e^{- x}} + C