integral of e^{-(x^2)/4}

解答

\int e^{- \frac{x ^{2}}{4}} d x

π erf (\frac{x}{2}) + C

求解步骤

\int e^{- \frac{x ^{2}}{4}} d x

使用指数法则:

\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}

\frac{x ^{2}}{4} = (\frac{x}{2})^{2}

= \int e^{- (\frac{x}{2})^{2}} d x

使用换元积分法

= \int e^{- u^{2}} \cdot 2 d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int e^{- u^{2}} d u

这是非初等函数积分:

\int e^{- u^{2}} d u = \frac{π}{2} erf (u)

= 2 \cdot \frac{π}{2} erf (u)

u = \frac{x}{2}

代回

= 2 \cdot \frac{π}{2} erf (\frac{x}{2})

化简

2 \cdot \frac{π}{2} erf (\frac{x}{2}) : π erf (\frac{x}{2})

= π erf (\frac{x}{2})

解答补常数

= π erf (\frac{x}{2}) + C