integral of 1/(e^{-5x)+2}

Lösung

\int \frac{1}{e ^{- 5 x} + 2} d x

\frac{x}{2} + \frac{1}{10} ln e^{- 5 x} + 2 + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{e ^{- 5 x} + 2} d x

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{1}{5 ( e ^{u} + 2 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{e ^{u} + 2} d u

Wende U-Substitution an

= - \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{v ( v + 2 )} d v

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{v ( v + 2 )} : \frac{1}{2 v} - \frac{1}{2 ( v + 2 )}

= - \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{2 v} - \frac{1}{2 ( v + 2 )} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \frac{1}{5} (\int \frac{1}{2 v} d v - \int \frac{1}{2 ( v + 2 )} d v)

\int \frac{1}{2 v} d v = \frac{1}{2} ln ∣ v ∣

\int \frac{1}{2 ( v + 2 )} d v = \frac{1}{2} ln ∣ v + 2 ∣

= - \frac{1}{5} (\frac{1}{2} ln ∣ v ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ v + 2 ∣)

Ersetze zurück

= - \frac{1}{5} (\frac{1}{2} ln e^{- 5 x} - \frac{1}{2} ln e^{- 5 x} + 2)

Vereinfache

- \frac{1}{5} (\frac{1}{2} ln e^{- 5 x} - \frac{1}{2} ln e^{- 5 x} + 2) : \frac{x}{2} + \frac{1}{10} ln e^{- 5 x} + 2

= \frac{x}{2} + \frac{1}{10} ln e^{- 5 x} + 2

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{2} + \frac{1}{10} ln e^{- 5 x} + 2 + C

\int \frac{x ^{3}}{1 - 9 x ^{8}} d x

\int \frac{10}{( r - 1 ) ^{2} ( r ^{2} + 9 )} d r

\int (x^{2} - 9 x - 1) d x

\int \frac{2 x}{( 1 + x ) ( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x

\int (\frac{3}{x ^{3}} - \frac{1}{3 x}) d x