integral of sin^2((pix)/a)

Lösung

\int sin^{2} (\frac{π x}{a}) d x

\frac{x}{2} - \frac{a}{4 π} sin (\frac{2 π x}{a}) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{2} (\frac{π x}{a}) d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{a sin ^{2} ( u )}{π} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{a}{π} \cdot \int sin^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{a}{π} \cdot \int \frac{1 - cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{a}{π} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 - cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{a}{π} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u - \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{a}{π} \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = \frac{π x}{a}

ein

= \frac{a}{π} \cdot \frac{1}{2} (\frac{π x}{a} - \frac{1}{2} sin (2 \cdot \frac{π x}{a}))

Vereinfache

\frac{a}{π} \cdot \frac{1}{2} (\frac{π x}{a} - \frac{1}{2} sin (2 \cdot \frac{π x}{a})) : \frac{x}{2} - \frac{a}{4 π} sin (\frac{2 π x}{a})

= \frac{x}{2} - \frac{a}{4 π} sin (\frac{2 π x}{a})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{2} - \frac{a}{4 π} sin (\frac{2 π x}{a}) + C

\int \frac{x - 1}{x ^{2} + 4 x + 13} d x

\int x^{4} e^{4 x} d x

\int (x^{2} + 4 x)^{7} (4 x + 8) d x

\int \frac{x}{( x ^{2} - 7 ) ^{2}} d x

\int 16 cos^{2} (θ) d θ