integral of sqrt(9-2x^2)

Lösung

\int 9 - 2 x^{2} d x

\frac{9}{2 2} (arcsin (\frac{2}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{3} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int 9 - 2 x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{9}{2} cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{9}{2} \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{9}{2} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{2}{3} x)

ein

= \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{2}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{3} x)))

Vereinfache

\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{2}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{3} x))) : \frac{9}{2 2} (arcsin (\frac{2}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{3} x)))

= \frac{9}{2 2} (arcsin (\frac{2}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{3} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{9}{2 2} (arcsin (\frac{2}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{3} x))) + C

\int (x^{- 1} + e^{3 x} + 2 x) d x

\int \frac{x + x ^{2}}{1 + x ^{2}} d x

\int \frac{1}{x \cdot 1 + x ^{2}} d x

\int t \cdot e^{2 t} d t

\int (x + 8)^{4} d x