integral of 1/(1+sqrt(e^x))

Lösung

\int \frac{1}{1 + e ^{x}} d x

x - 2 ln e^{\frac{x}{2}} + 1 + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{1 + e ^{x}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{u ( 1 + u )} d u

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2}{v ( v + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{v ( v + 1 )} d v

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{v ( v + 1 )} : \frac{1}{v} - \frac{1}{v + 1}

= 2 \cdot \int \frac{1}{v} - \frac{1}{v + 1} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int \frac{1}{v} d v - \int \frac{1}{v + 1} d v)

\int \frac{1}{v} d v = ln ∣ v ∣

\int \frac{1}{v + 1} d v = ln ∣ v + 1 ∣

= 2 (ln ∣ v ∣ - ln ∣ v + 1 ∣)

Ersetze zurück

= 2 (ln e^{x} - ln e^{x} + 1)

Vereinfache

2 (ln e^{x} - ln e^{x} + 1) : x - 2 ln e^{\frac{x}{2}} + 1

= x - 2 ln e^{\frac{x}{2}} + 1

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= x - 2 ln e^{\frac{x}{2}} + 1 + C

\int \frac{x ^{3}}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}} d x

\int sec^{2} (5 x + 1) d x

\int x (8 e^{x^{2}}) d x

\int (3 x^{2} + 2) ln (2 x) d x

\int (e^{x} + 3) d x