integral of (x^2)/((1-9x^2)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{x ^{2}}{( 1 - 9 x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{1}{27} (- arcsin (3 x) + \frac{3 x}{( 1 - 9 x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{( 1 - 9 x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{tan ^{2} ( u )}{27} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{27} \cdot \int tan^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{27} \cdot \int - 1 + sec^{2} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{27} (- \int 1 d u + \int sec^{2} (u) d u)

\int 1 d u = u

\int sec^{2} (u) d u = tan (u)

= \frac{1}{27} (- u + tan (u))

Setze in

u = arcsin (3 x)

ein

= \frac{1}{27} (- arcsin (3 x) + tan (arcsin (3 x)))

Vereinfache

\frac{1}{27} (- arcsin (3 x) + tan (arcsin (3 x))) : \frac{1}{27} (- arcsin (3 x) + \frac{3 x}{( 1 - 9 x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}})

= \frac{1}{27} (- arcsin (3 x) + \frac{3 x}{( 1 - 9 x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{27} (- arcsin (3 x) + \frac{3 x}{( 1 - 9 x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}) + C