integral of sin^2(10x)cos^3(10x)

Lösung

\int sin^{2} (10 x) cos^{3} (10 x) d x

\frac{1}{10} (\frac{sin ^{3} ( 10 x )}{3} - \frac{sin ^{5} ( 10 x )}{5}) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{2} (10 x) cos^{3} (10 x) d x

Wende U-Substitution an

= \int sin^{2} (u) cos^{3} (u) \frac{1}{10} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{10} \cdot \int sin^{2} (u) cos^{3} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{10} \cdot \int (1 - sin^{2} (u)) cos (u) sin^{2} (u) d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{10} \cdot \int v^{2} (1 - v^{2}) d v

Multipliziere aus

v^{2} (1 - v^{2}) : v^{2} - v^{4}

= \frac{1}{10} \cdot \int v^{2} - v^{4} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{10} (\int v^{2} d v - \int v^{4} d v)

\int v^{2} d v = \frac{v ^{3}}{3}

\int v^{4} d v = \frac{v ^{5}}{5}

= \frac{1}{10} (\frac{v ^{3}}{3} - \frac{v ^{5}}{5})

Ersetze zurück

= \frac{1}{10} (\frac{sin ^{3} ( 10 x )}{3} - \frac{sin ^{5} ( 10 x )}{5})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{10} (\frac{sin ^{3} ( 10 x )}{3} - \frac{sin ^{5} ( 10 x )}{5}) + C