integral of 1/(sqrt((4+x^2)^3))

Lösung

\int \frac{1}{( 4 + x ^{2} ) ^{3}} d x

\frac{x}{4 4 + x ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( 4 + x ^{2} ) ^{3}} d x

(4 + x^{2})^{3} = (4 + x^{2})^{\frac{3}{2}},

angenommen

(4 + x^{2}) \geq 0

= \int \frac{1}{( 4 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{4 sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{4} \cdot \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{4} sin (u)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{2} x)

ein

= \frac{1}{4} sin (arctan (\frac{1}{2} x))

Vereinfache

\frac{1}{4} sin (arctan (\frac{1}{2} x)) : \frac{x}{4 4 + x ^{2}}

= \frac{x}{4 4 + x ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{4 4 + x ^{2}} + C