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integral of (sin(15x))/(1+cos^2(15x))

Lösung

\int \frac{sin ( 15 x )}{1 + cos ^{2} ( 15 x )} d x

\frac{1}{15} arctan (tan^{2} (\frac{15 x}{2})) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{sin ( 15 x )}{1 + cos ^{2} ( 15 x )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{sin ( u )}{15 ( 1 + cos ^{2} ( u ) )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{15} \cdot \int \frac{sin ( u )}{1 + cos ^{2} ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{15} \cdot \int \frac{sin ( u )}{- sin ^{2} ( u ) + 2} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{15} \cdot \int \frac{2 v}{v ^{4} + 1} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{15} \cdot 2 \cdot \int \frac{v}{v ^{4} + 1} d v

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{15} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{2 ( w ^{2} + 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{15} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

= \frac{1}{15} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} arctan (w)

Ersetze zurück

= \frac{1}{15} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} arctan (tan^{2} (\frac{15 x}{2}))

Vereinfache

\frac{1}{15} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} arctan (tan^{2} (\frac{15 x}{2})) : \frac{1}{15} arctan (tan^{2} (\frac{15 x}{2}))

= \frac{1}{15} arctan (tan^{2} (\frac{15 x}{2}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{15} arctan (tan^{2} (\frac{15 x}{2})) + C

\int (cos (x) + 1) d x

\int - \frac{3}{2} x + 3 d x

\int \frac{1}{12 x ^{4}} d x

\int \frac{1}{t ( 1 + t ^{2} )} d t

\int (8 x^{3} + 9 3 x^{2}) d x