integral of e^{ax}cos(nx)

Lösung

\int e^{a x} cos (n x) d x

\frac{n e ^{a x} sin ( n x )}{n ^{2} + a ^{2}} + \frac{a e ^{a x} cos ( n x )}{n ^{2} + a ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int e^{a x} cos (n x) d x

Wende die partielle Integration an

= e^{a x} \frac{1}{n} sin (n x) - \int e^{a x} a \frac{1}{n} sin (n x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{a x} \frac{1}{n} sin (n x) - a \frac{1}{n} \cdot \int e^{a x} sin (n x) d x

Vereinfache

a \frac{1}{n} : \frac{a}{n}

= e^{a x} \frac{1}{n} sin (n x) - \frac{a}{n} \cdot \int e^{a x} sin (n x) d x

Wende die partielle Integration an

= e^{a x} \frac{1}{n} sin (n x) - \frac{a}{n} (- e^{a x} \frac{1}{n} cos (n x) - \int - a e^{a x} \frac{1}{n} cos (n x) d x)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{a x} \frac{1}{n} sin (n x) - \frac{a}{n} (- e^{a x} \frac{1}{n} cos (n x) - (- a \frac{1}{n} \cdot \int e^{a x} cos (n x) d x))

Vereinfache

- a \frac{1}{n} : - \frac{a}{n}

= e^{a x} \frac{1}{n} sin (n x) - \frac{a}{n} (- e^{a x} \frac{1}{n} cos (n x) - (- \frac{a}{n} \cdot \int e^{a x} cos (n x) d x))

Deshalb

\int e^{a x} cos (n x) d x = e^{a x} \frac{1}{n} sin (n x) - \frac{a}{n} (- e^{a x} \frac{1}{n} cos (n x) - (- \frac{a}{n} \cdot \int e^{a x} cos (n x) d x))

Isoliere

\int e^{a x} cos (n x) d x

= \frac{n e ^{a x} sin ( n x )}{n ^{2} + a ^{2}} + \frac{a e ^{a x} cos ( n x )}{n ^{2} + a ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{n e ^{a x} sin ( n x )}{n ^{2} + a ^{2}} + \frac{a e ^{a x} cos ( n x )}{n ^{2} + a ^{2}} + C

\int \frac{2 x}{( x + 1 ) ^{3}} d x

\int cos (\frac{nπ x}{π}) d x

\int \frac{3 x}{x - 1} d x

\int 4 cos (\frac{1}{4} π x) d x

\int \frac{- 1}{2} d x