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integral of 1/(sqrt(e^x+2))

Lösung

\int \frac{1}{e ^{x} + 2} d x

- 2 (\frac{1}{2} ln \frac{e ^{x} + 2}{2} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{e ^{x} + 2}{2} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{e ^{x} + 2} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{u u + 2} d u

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2}{v ^{2} - 2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{v ^{2} - 2} d v

Wende integrale Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 ( w ^{2} - 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} - 1} d w

Faktorisiere

w^{2} - 1 : - (- w^{2} + 1)

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{- ( - w ^{2} + 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w = \frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}

= 2 \cdot \frac{1}{2} (- (\frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}))

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{ln \frac{e ^{x} + 2}{2} + 1}{2} - \frac{ln \frac{e ^{x} + 2}{2} - 1}{2}

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{ln \frac{e ^{x} + 2}{2} + 1}{2} - \frac{ln \frac{e ^{x} + 2}{2} - 1}{2} : - 2 (\frac{1}{2} ln \frac{e ^{x} + 2}{2} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{e ^{x} + 2}{2} - 1)

= - 2 (\frac{1}{2} ln \frac{e ^{x} + 2}{2} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{e ^{x} + 2}{2} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - 2 (\frac{1}{2} ln \frac{e ^{x} + 2}{2} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{e ^{x} + 2}{2} - 1) + C

\int tan^{6} (t) sec^{4} (t) d t

\int 2 sin (3 x + 4) d x

\int \frac{1}{x ^{4} - 2 x ^{3} + x ^{2}} d x

\int \frac{cos ( 2 x )}{( cos ( x ) - sin ( x ) )} d x

\int x e^{3 - x} d x