integral of 1/(x^2-1/4)

Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} - \frac{1}{4}} d x

- ln ∣ 2 x + 1 ∣ + ln ∣ 2 x - 1 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} - \frac{1}{4}} d x

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{2}{u ^{2} - 1} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

Faktorisiere

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= 2 \cdot \int \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 (- \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= 2 (- (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}))

Setze in

u = \frac{x}{\frac{1}{2}}

ein

= 2 - \frac{ln \frac{x}{\frac{1}{2}} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x}{\frac{1}{2}} - 1}{2}

Vereinfache

2 - \frac{ln \frac{x}{\frac{1}{2}} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x}{\frac{1}{2}} - 1}{2} : - ln ∣ 2 x + 1 ∣ + ln ∣ 2 x - 1 ∣

= - ln ∣ 2 x + 1 ∣ + ln ∣ 2 x - 1 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - ln ∣ 2 x + 1 ∣ + ln ∣ 2 x - 1 ∣ + C

\int \frac{1}{A y + 2} d y

\int (x^{2} - 3 x + 1) cos (x) d x

\int e^{- 5 x} \cdot x d x

\int x^{2} sin (x y) d y

\int (2 - 3 x)^{2018} d x